美国老师怎样教数学

伊人

　　中国孩子在美国中小学“玩算术”是出了名的。

　　我儿子矿矿在同班的美国小朋友只会掰手指算简单加减法时，已会多位数乘除法。老师问：4＋3＝？大家还没反应，他答：4＋3＝21÷3。全班都傻了眼，就他得意洋洋。美国孩子和家长见到矿矿都竖拇指赞叹“聪明！”我们当然自以为是。在我眼里，美国小学数学太浅，整个一个“磨洋工”。一年级时，我借来六年级的数学课本，矿矿一样应付自如。

　　第一学期结束后，我们向学校提出，能否让矿矿插班到三年级上数学？我心里想，只要求上三年级，已经很谦虚了。谁知，在我们很“谦虚”地提出让矿矿每星期跳级到三年级去上一节数学课时，美国学校竟然不同意，并指出：矿矿擅长的是中国学校教的“算术”技巧，美国学校教的则是“数学”……

　　读了那封矿矿的老师代表校长和学区（相当于国内的教育局）写的信，我们非常不服气，不屑地扔到一边。直到后来对美国教育有更多了解时，我才重新冷静地阅读了这封信（节录）：

　　关于矿矿的数学学习问题，我已和校长罗伯特博士说过了。她也跟学区主管教学和课程的助理督导迈克·威廉斯博士谈了……
附上一年级数学课15个单元的学习内容和教学目标……我们更强调的是孩子对那些隐藏在数学后面的概念的理解，从而在口头上和书写中能够运用他们所学的东西进行交流，而不是对算术的死记硬背。我们的目标是培养孩子成为解决问题的能手，学会思考，让孩子把自信建立在自己的能力之上，从而去珍视数学。我们的课程是让孩子积极参与到学习中，通过循序渐进、适当的教学活动去学习具体的操作计算。矿矿在中国学校学到的一些算术技巧，例如乘法和除法，对美国一年级小学生来说，不是循序渐进的适当的活动。我们运用的是绝对具有乘除法功能的组合法教学，从而使孩子在记住计算的数字之前已能理解乘除法的实际意义。

　　矿矿当然是一个具有计算技巧的优秀学生。然而，算术仅仅是整个数学课程中的一个部分。我们在数学课里，会运用许多教学活动来挑战矿矿的思维，从而也对他本身形成一种挑战。

　　我们觉得，派一个迈阿密大学的在校生一对一地帮矿矿，将比到三年级上数学更适当。如果你们想借三年级的数学教材在家里使用，我将乐意作出安排……

　　重读此信，我多了一份思考：这封信非常讲究遣词造句。比如，在讲到矿矿及中国学校时，她始终用“算术”这个概念，而说到美国学校时，她都说“数学”。所谓“算术”，计“算”之技“术”也，似属雕虫小技。数学，是关于“数”的学问，是研究符号和数字之间的关系，以及如何用这些符号和数字来解释世间与之有关的现象。因此，数学是学术中的极品。
到底美国小学的数学教学是“磨洋工”，抑或是我们把数学这门大学问当成了计算的技巧？我在潜心研究美国教育时，终于有了一些感悟。比如关于《鸡兔同笼》的计算：

　　笼里有5个头和14只脚，一共几只兔几只鸡？在许多人眼里，这完全是一个计算问题。设兔为X，鸡为Y，x+y=5；4(x)+2(y)=14。
　　到底我们该把它看作算术教学，还是数学教学？让我们来看美国的数学教育是怎样处理类似问题的：
　　某个住在湖边的老人养有狗和鸭子。某天，老人看到5个头和14只脚。老人看到的是多少条狗？多少只鸭？
　　老师：能不能找到解决问题的方法？
　　学生们纷纷要求回答问题。
　　学生A：要找到答案并不难，只要两个公式：一个解决脚的问题，另一个解决头的问题……
　　老师制止学生A继续往下讲，说道：“很好！谁来设计这两个公式？”
　　学生B：设狗为X，设鸭为Y；4(x)+2(y)=14。
　　学生C写道：x+y=5。
　　老师：这两个公式对不对？
　　学生七嘴八舌：“对啦！”
　　老师：现在我们不要去计算答案。我们按照这两个公式来推理，看看答案是否合理……
　　大家你望我，我望你。不让计算，却去猜答案。老师葫芦里卖的什么药？
　　老师：犯愁了？不错！我们现在不打算去计算准确的答案，我们只是去猜测大致的答案。
　　学生仍然丈二和尚摸不着头脑……
　　老师：既然你们不回答，那我就来问你们，5条狗和4只鸭，对不对？
　　学生哄然：不对！5条狗和4只鸭，一共是9个头，老人只看到5个头。
　　老师：那么，谁能告诉我，狗脚和鸭脚的数目？
　　学生们又是你望我，我望你，不知所措……
　　老师：如果我告诉你们，狗不少于4条。你们认为怎么样？
　　学生B：不对，请看看我设计的公式：脚的总数是14，而4条狗就有16条腿。除非老人喝醉了，把自己的脚也数进去了！
　　哄堂大笑！
　　老师：非常好！那能不能是3条狗呢？
　　学生们陷入思考……
　　学生C：那也不对！
　　老师很感兴趣地问：“为什么？”
　　学生C：除非有1只鸭子，少了两条腿。您看我设计的公式，总共有5个头。3条狗有12只脚。要符合5个头，14只脚的条件，就只剩两个鸭头，两只鸭脚。因此，除非有1只鸭没有脚……
　　又是一阵哄堂大笑！
　　老师：好吧，让我们假设所有的狗和鸭子都是进化完整的，没有缺胳膊少腿的。那么，该有多少只鸭子呢？
　　学生再没有像前面那样沉默，而是议论纷纷。
　　学生D：不管怎么说，前提是不能超过5个头，14只脚。
　　老师：如果狗少于3只，我们能在鸭子的数量上做什么文章呢？
　　学生E：这就是说，鸭子必须是3只以上。因为，头的总数是5个，狗少于3只，鸭子没有3只以上凑不够5只。
　　老师：有道理。狗只能少于3只，鸭不能少于3只。那么，我们应该寻找的下一个线索是什么呢？
　　学生思索……
　　老师：如果是3只鸭子，鸭脚应该是……
　　学生们：6只鸭脚。
　　老师：对！如果是3只鸭子，6只鸭脚，狗的数目又该怎么算呢？
　　学生A：如果狗脚不能多于12只，这就是说，狗不能多于3条，鸭子至少得有3只才能凑够5个头。3只鸭，鸭脚就是6只。于是，狗只能是2条，狗脚……
　　老师高兴地大笑：“好！不要往下说了。请大家用公式计算吧。”
　　到了这一步，再用公式计算，简直是吃豆腐：狗是2条，鸭是3只。
　　学生B有些不太高兴：“老师，看到您那么高兴，我倒有些费解了。这2条狗、3只鸭的答案，我们推理来推理去，花了快一节课的时间。其实，一开始就让我们拿公式来算，早就该做完了……”
　　老师微笑着点头：“你提出了一个非常好的问题，甚至超过了‘2条狗，3只鸭’的答案。请大家想一想，为什么我们没有一开始就用公式来计算，而是花了一节课的时间来走完整个推理的过程？”
　　学生E：我们浪费了不少时间去推论那些不正确的答案。
　　学生C：我不同意“浪费”的说法。有时候，你不能证实一个答案是错的，你就不能证实另一个答案是对的。
　　学生F：但是，值不值得花那么多时间？
　　学生们七嘴八舌……
　　老师会心地笑了：“谢谢大家！数学课不是算术，更不是用一个似懂非懂的公式去计算一个只有公式才能告诉你的答案。公式告诉你做什么？怎么做？我们充其量像个计算器。要真正理解：为什么这么做是对的？为什么那么做是不对的？问题就不那么简单了。就像知道点击电脑的什么键，电脑会怎么反应一样，那是电脑操作员的工作。只有理解：为什么点击电脑的这里会产生这个结果？为什么点击那里会产生那个结果？那才能成为电脑程序员。我们要的是通过演绎推理和归纳推理来证实和证伪某些答案，以及在这个过程中所培养和锻炼的推理能力。”

　　数学的实质是一种思维方式

　　其实，美国的数学教学是在企图回答学数学的目的问题：数学不仅仅是计算和应用公式。数学的实质是一种思维方式，是演绎推理和归纳推理的逻辑思维方式。对许多美国人来说，学数学并不一定是目的，而是通过学数学来培养自己的能力。同时，通过学数学来理解世界、理解世间与之有关的各种现象。

　　许多美国人相信，学数学的目的是掌握一种思维方式，是一种解释世间许多现象的工具，是训练思维能力的手段。
我到过国内不少地方听数学课，情况却刚好相反。老师总是“赶集”式地、急急忙忙地直奔最简单的方式和答案。有一次，我到某重点小学去听数学课，老师踩着步点赶时间，课上得似乎挺活，但只给答对问题的学生一颗糖，答不对的，不给糖。没得到糖的孩子，心思都在别人的糖上。更要命的是，老师也不解释为什么不对。

　　课后，我问老师，为什么不向学生解释错的原因？这位年轻的老师很不好意思，但又颇有些理直气壮地说：“根据教学大纲的进度，时间不够。”我建议道：能不能在课后，由知道的同学给不知道的同学解释为什么错。后来，她给我来电话，说是我的建议收到了很好的效果。

　　我发现，国内的一些老师总是争分夺秒地“赶”教学内容，像上了发条似地踩着步点上课，“好”的老师可以按照设计好的教案在刚讲完课、对学生说“下课”时，铃声正好响起。已经有好几个美国老师跟我说到这种让他们叹为观止的现象：“怎么上课可以像发射宇宙飞船一样精确？好像遥控一样。”其实，“以老师为中心”和“以内容为中心”的教学，是完全可以做到的。该讲的内容讲完了，至于结果怎么样就无法顾及了。正像美国老师无法理解中国老师可以踩点下课一样，中国老师在听了我介绍美国的教学以后，也摇着头说：“好是好啦，可是他们怎么能完成教学内容呢？”

　　然而，只讲已知的正确的东西，忽略让学生去证实或证伪自己的假设，就是忽略了学生的怀疑精神的培养。鼓励学生去证实或证伪某个假设，强调的是自我教育。上面那位美国老师，通过证实和证伪的过程培养学生演绎推理和归纳推理的能力，可谓用心良苦！

　　“聪明”的孩子与“智慧”的学生

　　为什么年龄越小时，中国孩子领先美国孩子越多，随着年龄的增长这种差距却越来越小，到高中以后，中国孩子与优秀的美国孩子就基本没有差距了？
经过多年的观察与研究，我发现，中国教育培养的是聪明的孩子，美国教育培养的是智慧的学生。聪明的孩子和智慧的孩子有什么本质的区别？

　　我们以“西安事变”的教学为例子，可清晰地看出两者的巨大差别：

　　中国的大多数学校，老师讲完史实后，要求学生记时间、地点、人物、事件等，以“学会”为目的，满足于考试结果。
美国的教育则是八仙过海：比如，可能什么都不教，让孩子们分成几组，分别制做一份当时各党各派报纸，或者只给几个辩论题，让孩子组成正反方进行辩论。即便是常规教学，老师也会启发孩子的发散性思维：如果蒋不妥协？如果张、杨不和共产党合作？如果张、杨把蒋处死？如果蒋逃出西安……甚至让学生自己设想发散性的问题。无论哪种方式，学生都在收集材料、研究材料、组织观点的过程中，培养了“会学”的能力。

　　美国学者贾尼丝·萨博把培养“聪明的孩子”还是培养“智慧的学生”概括为两种教育：
　　聪明的孩子　智慧的学生
　　1.能够知道答案　1.能够提出问题
　　2.带着兴趣去听　2.表达有力的观点
　　3.能理解他人的意思　3.能抽象概括
　　4.能抓住要领　4.能演绎推理
　　5.完成作业　5.寻找课题
　　6.乐于接受　6.长于出击
　　7.吸收知识　7.运用知识
　　8.善于操作　8.善于发明
　　9.长于记忆　9.长于猜想
　　10.喜欢自己学习　10.善于反思

　　从很多教学的比较看，中国教育培养的学生包揽了“聪明的孩子”的所有特点；美国教育培养的学生囊括了“智慧的学生”的所有表现。


作者黄全愈简介：
本文作者系美国迈阿密大学孔子学院院长、教育学院兼职教授、中山大学客座教授。著有中美教育比较系列《中国教育的哲理困惑》（英文）、《素质教育在美国》、《家庭教育在美国》、《生存教育在美国》、《玩的教育在美国》、《高考在美国》。